引言
在房間中，除濕機起到降低溼度的作用，可近似當成一個低濃度的邊界條件；此外房間的內表面積與各色物件的外表面積可以存續水分，蒸發或凝結，構成第二個高濃度的邊界條件。考慮另一個極端情況：當房間燒水時，高低濃度對應狀態則正好相反。由於相對溼度與水蒸氣濃度之間僅存在簡單的線性關係，因此這裡我們僅考慮水蒸氣濃度，並結合內外邊界條件求解輸運方程。
物理模型
考慮一個球型的密閉空間，半徑為$r_R$，其中心挖去半徑為$r_0(r_0 < r_R)$的球型空間。在空心球殼內部任意一點距離球心為$r(r_0 < r < r_R)$的位置，水蒸氣可以自由地流動，並在兩個表面上蒸發或凝結。內表面$r = r_0$處的濃度$u = U_0$，同時外表面$r = r_R$處的濃度$u = U_R$。已知水蒸氣的擴散係數為$D$。
輸運方程
$u_t - D\Delta u = 0$為亥姆霍茲方程，$\Delta$稱為拉普拉斯算子，$u_t$表示對時間的偏微分。$u(r=r_0) = U_0,\ u(r=r_R) = U_R$對應兩個邊界條件，$u(t=0) = f(r)$對應於初始濃度分佈。為了簡單起見，初始濃度分佈在後續計算中被設置為常數$f(r) = U$。
變形
考慮到這是非齊次的邊界條件，即邊界條件方程中兩個等式的右邊不為$0$，需要對其變形，考慮線性變換
$$
u = \frac{U_R - U_0}{r_R - r_0}(r - r_0) + U_0 + v
$$
這樣可以得到齊次的邊界條件的亥姆霍茲方程：$v_t - D\Delta v = 0$，邊界條件為齊次：$v(r=r_0) = 0,\ v(r=r_R) = 0$，初始條件：$v(t=0) = f(r) - U_0 - \frac{U_R - U_0}{r_R - r_0}(r - r_0)$。
求解
亥姆霍茲方程的求解通常並非易事，好在這是最簡單情況，其解存在解析的形式。由於其解與方位角$\varphi$無關，也和極角$\theta$沒有關係，因此解只是徑向距離$r$與時間$t$的函數。可以採用分離變數法，即令$v = T(t)R(r)$，新變量$v$的亥姆霍茲方程變成
$$
\frac{T’}{DT} = \frac{\Delta R}{R} = -k^2
$$
$T’$表示$T$對時間的微分，由於上式左邊是時間的函數，右邊是位置的函數，他們不可能相等，除非共同等於一個常數，一般把這個常數設置為$-k^2$。$T$很容易解出：$T = Ce^{-Dk^2t}$，其中$C$是一個由初始條件確定的待定係數。逕向方程$R$的求解通常比較困難，但由於這裡與$\varphi$無關，即$m = 0$；也和$\theta$無關，即$l = 0$。這是零階的球貝索函數，兩個線性獨立的解為
$$
j_0(x) = \frac{\sin x}{x}
$$
這個也叫零階的球貝索函數，還有一個叫球諾依曼函數，零階是這樣
$$
n_0(x) = -\frac{\cos x}{x}
$$
最終的結果為他們二者的線性組合，係數由初始條件確定。
特徵值
需要注意的是滿足條件的$k$有無窮多個，一個$k$對應一個特解，最終的解是所有的特解的線性組合，即
$$
v = \sum_{n = 1}^\infty \left[ A_nj_0(k_nr) + B_nn_0(k_nr) \right]e^{-Dk_n^2t}
$$
$k$的求解依賴週期性邊界條件，求解通常也不容易，所幸這是最簡單的情況，代入邊界條件。
在$r = r_0$處：
$$
Aj_0(kr_0) + Bn_0(kr_0) = 0
$$
在$r = r_R$處：
$$
Aj_0(kr_R) + Bn_0(kr_R) = 0
$$
簡單變形，在$r = r_0$處：
$$
A\sin(kr_0) - B\cos(kr_0) = \sqrt{A^2 + B^2}\sin(kr_0 - \phi)
$$
類似在$r = r_R$處：
$$
A\sin(kr_R) - B\cos(kr_R) = \sqrt{A^2 + B^2}\sin(kr_R - \phi)
$$
其中$\tan\phi = B/A$，也即$kr_0 - \phi = n_1\pi$，$kr_R - \phi = n_2\pi$，換言之
$$
k(r_R - r_0) = (n_2 - n_1)\pi = n\pi
$$
其中$n=1,2,3…$。這樣就求出特徵值$k$。
待定係數
求出$k_n = \frac{n\pi}{r_R - r_0}$，簡單起見，令$x_n = \frac{n\pi r}{r_R - r_0}$，$F = f(r) - U_0 + \frac{U_R - U_0}{r_R - r_0}r_0 = U - U_0 + \frac{U_R - U_0}{r_R - r_0}r_0$，$F_n = \frac{U_R - U_0}{n\pi}$。考慮初始條件
$$
\sum_{n = 1}^\infty \frac{A_n\sin x_n - B_n\cos x_n}{x_n} = F - F_nx_n
$$
上面等式兩邊乘以$x_n\sin x_n$，並在$r \in [r_0 - r_R, r_R - r_0]$，$x_n \in [-n\pi, n\pi]$上積分，即
$$
n\pi A_n = -2n\pi F(-1)^n
$$
解得$A_n = -2F*(-1)^n$，同理等式兩邊乘以$x_n\cos x_n$並積分
$$
-n\pi B_n = -4n\pi F_n(-1)^n
$$
解得$B_n = 4F_n(-1)^n$。
結果
綜上所述，可以得出
$$
u = \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}\left[ 2F\sin(k_nr) + 4F_n\cos(k_nr) \right]}{k_nr}e^{-Dk_n^2t} + \frac{U_R - U_0}{r_R - r_0}(r - r_0) + U_0
$$
其中$k_n = \frac{n\pi}{r_R - r_0}$，$F = U - U_0 + \frac{U_R - U_0}{r_R - r_0}r_0$，$F_n = \frac{U_R - U_0}{n\pi}$，$n = 1,2,3…$。
討論
結果最後兩項，是平淡無奇的梯度均勻分佈，也是最終的穩定解。第一項對應一個隨著時間衰竭的級數和，注意階數越高，衰竭越快。只分析一個特例，即初始環境溼度$U = U_0 < U_R$時，級數的第一階為
$$
\frac{2\pi r_0\sin(\frac{\pi r}{r_R - r_0}) + 4(r_R-r_0)\cos(\frac{\pi r}{r_R - r_0})}{\pi^2r}(U_R-U_0)e^{-\frac{\pi^2Dt}{(r_R-r_0)^2}}
$$
研究初始時刻的變化率
$$
-\frac{2\pi r_0\sin(\frac{\pi r}{r_R - r_0}) + 4(r_R-r_0)\cos(\frac{\pi r}{r_R - r_0})}{\pi^2r}\frac{\pi^2D(U_R-U_0)}{(r_R-r_0)^2}
$$
表示普遍濃度下降，速率隨位置不同，一般而言靠近外表面下降速率較內表面為慢，也和經驗一致。
這個模型可適用於其他場景，譬如熱傳導，只需將擴散係數$D$換成導熱率$k$，$u$表示溫度分佈即可。
相對溼度
考慮溫度為$T$時水的蒸汽壓為$e$，飽和蒸氣壓為$E$，由定義知相對溼度$\varphi$為
$$
\varphi = \frac{e}{E}
$$
考慮標準大氣壓為$P$，其摩爾分數為
$$
x = \frac{e}{P}
$$
空氣的摩爾濃度為
$$
c =\frac{P}{RT}
$$
綜上可得水蒸氣的濃度$u$為
$$
u = xc = \frac{\varphi E}{RT}
$$
即相對溼度與水蒸氣濃度僅存在簡單線性關係。
數據
數據採集自溫濕度計，其結果按每小時平均如下
| 啟動時間 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 相對溼度 | 92 | 91 | 75 | 62 | 57 | 50 | 47 | 45 | 44 | 43 | 42 |
注意打開抽濕機的前四小時濕度快速下降，這對應結果的第一項。爾後達到穩態，此後的下降來自房間內部物體表面的水分抽盡，使得等效$r_R$增大，從而帶來濕度輕微下降
$$
\delta u \approx -\frac{U_R - U_0}{(r_R-r_0)^2}(r - r_0)\delta r_R
$$
以上為對$r_R$的展開。粗略估計結果如圖
虛線為理論預測，符號為觀測數據，注意$D$需要修正。
後記
如果結果沒有初等函數形式，我不會寫這篇文章。
我想這或許是物理讓人在學習過程中難有成就感的原因：以其過於艱深繁難，哪怕似乎是看上去很簡單的現象，求解卻並不容易；更遑論其所依賴的數學工具，通常非專業人士不可駕馭。儘管學習多年物理，這確是第一個我可以用生平所學來解釋的日常現象。
我想起一個廣為人知的笑話：一個農場請物理學家調研，他在報告的開頭就寫：「考慮一隻球型的乳牛⋯」
我卻笑不出來。在我看來球是個很好的近似：這樣你只需要三個變量去描述牛的位置，外加平均密度來描述其物理屬性。試問多一個頭，你需要額外添加多少個量去描述？這樣只是繁，而不難：難是無法求解，繁是徒增一些無足輕重的細節而讓真正重要的物理性質湮沒在龐雜而繁瑣的計算當中。如果你有幸讀完以上計算過程，你還會覺得好笑嗎。
物理的本質，就是在做近似。