引言
本文旨在從開普勒三定律推導牛頓萬有引力定律。
極坐標系
顯然極坐標系在研究此類問題時更加方便。用$\hat\rho$與$\hat\varphi$表示徑向與橫向的單位向量，考慮其對時間的微分
$$
\begin{aligned}
\frac{d\hat\rho}{dt} =& \dot\varphi\hat\varphi\nonumber\\
\frac{d\hat\varphi}{dt} =& -\dot\varphi\hat\rho\nonumber
\end{aligned}
$$
其中$\dot\varphi$表示極角對時間的一階導數，即角速度。用徑矢$\rho\hat\rho$表示質點在空間中的方位，對時間的一階微分即為運動速度
$$
\frac{d(\rho\hat\rho)}{dt} = \dot\rho\hat\rho + \rho\dot\varphi\hat\varphi
$$
其中$\dot\rho$表示徑向運動速度，$\rho\dot\varphi$就是熟悉的線速度。對時間再取微分得到加速度在極坐標系下的形式
$$
\frac{d^2(\rho\hat\rho)}{dt^2} = (\ddot\rho-\rho\dot\varphi^2)\hat\rho + (\rho\ddot\varphi+2\dot\rho\dot\varphi)\hat\varphi
$$
其中$\ddot\rho$與$\ddot\varphi$表示對時間的二階導數，多出的兩項也有其物理意義，譬如$-\rho\dot\varphi^2$正是慣性離心力，而$2\dot\rho\dot\varphi$為科里奧利力。
回到牛頓第二定律，將物體所受合力分解到$\hat\rho$與$\hat\varphi$兩個方向上
$$
\vec F = F_\rho\hat\rho + F_\varphi\hat\varphi
$$
根據$\vec F = m\frac{d^2(\rho\hat\rho)}{dt^2}$，令其分量各自相等，得到徑向與橫向上的運動方程
$$
\begin{aligned}
F_\rho =& m(\ddot\rho-\rho\dot\varphi^2)\nonumber\\
F_\varphi =& m(\rho\ddot\varphi+2\dot\rho\dot\varphi)\nonumber
\end{aligned}
$$
特別當物體橫向上不受力$F_\varphi = 0$時，要求
$$
\rho\ddot\varphi+2\dot\rho\dot\varphi = \frac{1}{\rho}(\rho^2\ddot\varphi+2\rho\dot\rho\dot\varphi) = \frac{1}{\rho}\frac{d}{dt}(\rho^2\dot\varphi) = 0
$$
即$\rho^2\dot\varphi = const$，這正是角動量守恆定律$m\rho^2\dot\varphi = const$。
開普勒定律
第一定律
每一個行星都沿各自的橢圓軌道環繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點中。
以太陽為極點，其數學形式為
$$
\rho = \frac{ep}{1 - e\cos\varphi}
$$
其中$e$與$p$分別表示軌道的離心率與焦準距。由於這句話十分直白，不需要過多解釋。但其暗含太陽質量遠大於行星質量的條件，這一點會在後續補充討論中說明。
第二定律
在相等時間內，太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。
考慮其數學形式
$$
\rho^2\dot\varphi = \phi
$$
則單位時間掃過的面積為$\frac{\phi}{2}$，不難發現這實質上是角動量守恆。暗示行星受到的力只來自與太陽連線的方向。
第三定律
各個行星繞太陽公轉週期的平方和它們的橢圓軌道的半長軸的立方成正比。
知道橢圓的面積為$\pi ab$，其中$a$與$b$分別表示橢圓軌道的半長軸與半短軸。這樣週期$T$為
$$
T = \frac{2\pi ab}{\phi}
$$
因此開普勒第三定律的數學形式為
$$
\frac{a^3}{T^2} = \frac{\phi^2}{4\pi^2}\frac{a}{b^2} = const
$$
暗示太陽系的行星受到來自太陽的力中存在一個普世的常數$\phi^2\frac{a}{b^2}$，關於這一點會在後續推導中詳細說明。
引力
已知行星軌道$\rho = \frac{ep}{1 - e\cos\varphi}$與守恆條件$\rho^2\dot\varphi = \phi$，求解行星來自太陽方向的力$F_\rho = m(\ddot\rho-\rho\dot\varphi^2)$
先計算$\dot\rho$
$$
\dot\rho = \frac{d\rho}{d\varphi}\frac{d\varphi}{dt} = -\dot\varphi\frac{e^2p\sin\varphi}{(1-e\cos\varphi)^2} = -\frac{\phi}{\rho^2}\frac{\rho^2\sin\varphi}{p} = -\frac{\phi}{p}\sin\varphi
$$
再計算$\ddot\rho$
$$
\ddot\rho = \frac{d\dot\rho}{d\varphi}\frac{d\varphi}{dt} = -\dot\varphi\frac{\phi}{p}\cos\varphi = -\frac{\phi^2}{\rho^2}(\frac{1}{ep}-\frac{1}{\rho})
$$
這樣得到$F_\rho$
$$
F_\rho = m[-\frac{\phi^2}{\rho^2}(\frac{1}{ep}-\frac{1}{\rho})-\frac{\phi^2}{\rho^3}] = -m\frac{\phi^2}{ep}\frac{1}{\rho^2}
$$
求出結果為負，表示與正方向相反，即為引力。看上去這似乎就是平方反比定律，但不全是，因為公式中存在一個極具個性的$\frac{\phi^2}{ep}$，其與行星的軌道角動量、離心率以及焦準距有關，一般隨行星而不同。但開普勒第三定律指出，它是一個常數，與行星無關，這是因為離心率$e = \frac{c}{a}$，焦準距$p = \frac{b^2}{c}$，代入得到$\frac{\phi^2}{ep} = \phi^2\frac{a}{b^2}$，這正是開普勒第三定律中的常數。考慮到太陽系的行星本沒有什麼共性，無非都是圍繞太陽轉動而已，可見這一常數應該只與太陽的屬性有關，不妨把這個屬性叫做引力質量$M$，把該常數寫成$\frac{\phi^2}{ep} = g(M)$，$g$為一個待定的函數。
這樣引力公式已經變成$F_\rho = -mg(M)\frac{1}{\rho^2}$，考慮到太陽對行星的引力與行星對太陽的引力是一對作用力與反作用力，要求數學形式上是對稱的，考慮到公式中已經有了一個$m$，則$g(M)$應與$M$成正比，不妨令$g(M) = GM$，其中$G$為待定係數，這樣就是熟悉的萬有引力公式。
順便說一句，公式中同時出現了慣性質量$m$與引力質量$M$，按說這是兩個不同的東西：前者刻畫了物體改變運動狀態的難易程度，而後者則表述對其他物體吸引能力的強弱。但它們卻可以在一定條件下相等，這種巧合也成為日後廣義相對論的靈感來源。
補充
既然得到的萬有引力是一對作用力與反作用力，原先開普勒定律就不再準確了。確切地說，行星和太陽各自圍繞質心轉動。這裡用$\vec F_{mM}$表示太陽對行星的引力，$\vec F_{Mm}$表示行星對太陽的引力，用$\vec r$表示它們各自的徑矢
$$
\begin{aligned}
\vec F_{mM} =& m\frac{d^2}{dt^2}\vec r_m\nonumber\\
\vec F_{Mm} =& M\frac{d^2}{dt^2}\vec r_M\nonumber
\end{aligned}
$$
則行星相對太陽的位置$\vec r_m - \vec r_M$
$$
\frac{d^2}{dt^2}(\vec r_m-\vec r_M）= \frac{\vec F_{mM}}{m} - \frac{\vec F_{Mm}}{M} = (\frac{1}{m}+\frac{1}{M})\vec F_{mM}
$$
這是因為$\vec F_{mM}$與$\vec F_{Mm}$大小相等方向相反。$\frac{Mm}{M + m}$即為兩體問題的約化質量，即行星相對太陽運動的等效質量略小於行星真實質量$m$。也可以對上面公式變形
$$
\vec F_{mM} = m\frac{M}{M + m}\frac{d^2}{dt^2}(\vec r_m-\vec r_M）= m\frac{d^2}{dt^2}[\vec r_m-\frac{m\vec r_m+M\vec r_M}{M+m}]
$$
其中$\frac{m\vec r_m+M\vec r_M}{M+m}$正是質心的位置$\vec r_c$，不難發現$\vec r_m - \vec r_c = \frac{M}{M + m}(\vec r_m-\vec r_M)$，將相對太陽的距離替換為相對質心的距離
$$
\vec F_{mM}(\frac{M+m}{M}(\vec r_m-\vec r_c)) = m\frac{d^2}{dt^2}(\vec r_m-\vec r_c)
$$
則與萬有引力公式形式上完全一致，只是乘上一個因子$\frac{M^2}{(M+m)^2}$。以上公式表面物體運動可以等效看作來自質心的質量為$M\frac{M^2}{(M+m)^2}$的物體的吸引。一般而言，由於系統不受外力，質心位置是固定的，即靜止或勻速直線運動。事實上太陽質量遠大於行星質量，質心與太陽重疊，才有開普勒第一定律的描述。
題外話
這是一篇科普性的文章，也是我曾經的一個困惑，為什麼書上說從開普勒三定律可以推導出牛頓萬有引力定律？
高中教材似乎有「證明」，如果那些胡說八道的東西可以稱之為證明的話。事實上這一套推導並不複雜，所用到的數學工具也僅僅是求導，並沒有超出高中數學的範疇，我相信任何一個高中生都能看懂，從而享受這種純粹物理學帶來的樂趣。反過來也可以由萬有引力公式推導出開普勒三定律，不過對第一條軌道的證明涉及到求解微分方程，這一點或許超出高中所學，但那是一個很簡單的微分方程，稍加涉獵也能處理。
萬有引力定律是人類有史以來發現的第一條普世的物理規律，其重要性不言而喻。其對與天體的表述不能簡單視為世界觀的重塑，而是一套與希臘羅馬時代截然不同的現代科學體系的最終建立。這條路上，站著希臘人、第谷、開普勒，以及無限接近上帝的：牛頓。至於現代人從課本裡形成定式印象的哥白尼布魯諾伽利略等人，實質上，都是次要角色，這些現代社會編造起來的科學史形象遠離史實程度有如列寧國家的文宣材料一般不可靠。
從希臘到牛頓
現代人未必清楚的是希臘人天文學的研究並非統治了一千年中世紀的歐洲，而正相反，是在中世紀結束之際歐洲人才從阿拉伯人那裡重新學習到古希臘人的天文學，儘管保留下來的只是極少的一部分。但這足以折服文藝復興後的歐洲人，並重新奉為經典，但注意這個時間是極短暫的。希臘文明是現代文明的直接源頭，在留下來為數不多的材料中，就有對太陽與地球大小的直接計算，結果與現代測量數據相去無幾。希臘人很早就知道太陽遠大於地球，很自然便有日心說的想法，但這一套學說並未成為主流。
這主要基於一些困難，而非現代課本所宣稱的迷信，如果你去讀那個時代希臘人留下的著作，你會發現他們比現代鑽營意識形態工作的文宣政工鷹犬，要理性得多，更遑論同時代其他民族還在巫鬼神佛中尋找靈感。這些困難，譬如說，如果太陽是中心，人為什麼不會掉到太陽上去；再一個，如果地球在轉動，為什麼沒有迎面而來的大風？你今天當然知道這是由於引力與慣性，但你不能要求兩千年前的古人就已經懂得這些。此外還有恆星視差問題，這一點希臘人並沒有觀測到，真正觀察到這個微小的視差，已經是十九世紀的事情，因此地心說是很自然的想法。
托勒密的天文學在此基礎上發展了本輪體系，我看到現代通俗讀物以繁瑣來批判這種方法，我相信這些書的作者是對自然科學一無所知的人，如果他們知道一點微擾理論的話，或許就不會大放厥詞。其荒謬程度有如公眾熟知的不超過十個人能看懂相對論，事實上編出這個故事的是一個聲名狼藉的小報記者，天底下也沒有這麼小的學術圈。至於輪上輪，你可以將其理解為複數和，與傅立葉級數類似，理論上項數足夠多，便可以逼近任何運動，這是很好的近似方法，這也是托勒密本輪系統能給出極為精確計算結果的原因。此外希臘人認為行星軌道是圓，我們現在知道行星軌道的離心率很小，這一點希臘人也沒有錯。當你不清楚這種差異是否由觀測誤差引起，非圓處理反而是沒什麼道理的事情。
現在到哥白尼那個時代，日心說在希臘人那裡古已有之，他自己也承認這點。順便說一句，他生活優渥，沒人迫害他。哥白尼用的還是托勒密的方法，除了有一些便利之外，卻並沒有簡化計算，至於我上面提到關於日心說的問題，則一個都沒解決。到了第谷那裡，他已經在用一種簡化的模型：行星圍繞太陽轉，但太陽圍繞地球轉。由於運動是相對的，這和日心說等價，卻可以避開日心說的問題。
第谷受丹麥國王的資助進行二十年連續的天文觀測，注意他那個時代並沒有望遠鏡，但他的數據卻比他以前所有天文觀測數據都精確。在生命最後兩年他來到神聖羅馬帝國繼續他的工作，他找了一個助手，叫開普勒，儘管他一點都不喜歡這個人。
與第谷不同，開普勒狂熱相信日心說，現在看來更多是基於對新生事物的熱情而非出自理性。他在第谷死後研究此前二十年的觀測結果，也是基於對第谷觀測結果的信任他認為與圓軌道的偏差不可忽略。他在嘗試一系列曲線後最終發現橢圓，可以完美解釋所有問題。
儘管希臘人早已研究過圓錐曲線，但將其套在行星軌道上，開普勒是第一人。順便說一句，天文資助很快因為戰亂而停頓，開普勒一生過得窮極潦倒，如果你在當時見到他，未必會把他和通俗小說中偉大的科學家聯繫起來，因為他倒常像一個吉卜賽人一樣給別人占星算命維生。他也與伽利略通信，後者從未重視他。相比伽利略被保護的優游的生活，開普勒是一個悲劇性的角色：他最終死在討薪的路上，身上也就幾本書而已。
開普勒生前聲名不顯，到牛頓那個時代，才重新被人所知。從古希臘開始這兩千年歐洲對於天文學的思考重新交到牛頓手中，在後者的世界裡，引力、潮汐、天體的運行將融合為一個整體：屆時清醒的人或許會意識到，這絕不簡單是對天文學的重新詮釋，而是其最終宣告的，一個時代的開始。