引言
我看到一條記錄：「北海，北極出地六十五度，夏至晷景長六尺七寸八分，晝八十二刻，夜一十八刻」。北海是什麼地方？
它不是一般理解的貝加爾湖，貝加爾湖不會出現在如此近北的地方。實際上這句話出自元史天文志中的四海測驗，除此以外沒有任何有用的信息。
分析
「北極出地六十五度」指的是北極星仰角，一般而言，北極星仰角即為觀測者所在的緯度。「夏至晷景長六尺七寸八分」為夏至日日晷的影長，而「晝八十二刻，夜一十八刻」則對應晝夜時長。
北極星仰角
如果忽略掉不知所在的「北海」，「鐵勒」與「南海」，以及極不準確的「和林」與「衡嶽」，此外的記錄大體是準確的。而諷刺的是，五個極不準確的數據卻詳細得多。
| 城市 | 詳略 | 元史仰角測量值（度） | 現代緯度（度） | 偏差 |
|---|---|---|---|---|
| 北海 | 詳 | 65 | 未知 | 無 |
| 鐵勒 | 詳 | 55 | 未知 | 無 |
| 和林 | 詳 | 45 | 不適用 | 無 |
| 上都 | 略 | 43 | 42 | 高估 |
| 北京 | 略 | 42 | 41.5 | 高估 |
| 西京 | 略 | 40 | 40 | 準確 |
| 大都 | 詳 | 40 | 40 | 準確 |
| 西涼州 | 略 | 40 | 39 | 高估 |
| 太原 | 略 | 38 | 38 | 準確 |
| 高麗 | 略 | 38 | 38 | 準確 |
| 登州 | 略 | 38 | 37 | 高估 |
| 益都 | 略 | 37 | 36.5 | 高估 |
| 大名 | 略 | 36 | 36 | 準確 |
| 東平 | 略 | 35 | 35.5 | 低估 |
| 嶽臺 | 詳 | 35 | 34.5 | 高估 |
| 南京 | 略 | 34 | 34.5 | 低估 |
| 安西府 | 略 | 34 | 34 | 準確 |
| 河南府陽城 | 略 | 34 | 34 | 準確 |
| 興元 | 略 | 33 | 33 | 準確 |
| 揚州 | 略 | 33 | 32 | 高估 |
| 成都 | 略 | 31.5 | 30.5 | 高估 |
| 鄂州 | 略 | 31.5 | 30.5 | 高估 |
| 吉州 | 略 | 26.5 | 27 | 低估 |
| 衡嶽 | 詳 | 25 | 不適用 | 無 |
| 雷州 | 略 | 20 | 21 | 低估 |
| 瓊州 | 略 | 19 | 20 | 低估 |
| 南海 | 詳 | 15 | 未知 | 無 |
這是一件奇怪的事情，為什麼在高緯度傾向高估，而在低緯度傾向低估呢。
我想不應該這麼看，如果忽視吉州以下的數據，那麼整體是傾向於高估的。而高估很容易解釋，這是由大氣折射引起的，效果上總是傾向於高估北極星的仰角。緯度越高，則影響越小。
但這沒有意義，我不可能根據不可靠的記錄推測出可靠的結果來。
日晷影長
現在看看詳細的幾條數據：
- 南海，北極出地一十五度，夏至景在表南，長一尺一寸六分，晝五十四刻，夜四十六刻。
- 衡嶽，北極出地二十五度，夏至日在表端，無景，晝五十六刻，夜四十四刻。
- 嶽臺，北極出地三十五度，夏至晷景長一尺四寸八分，晝六十刻，夜四十刻。
- 和林，北極出地四十五度，夏至晷景長三尺二寸四分，晝六十四刻，夜三十六刻。
- 鐵勒，北極出地五十五度，夏至晷景長五尺一分，晝七十刻，夜三十刻。
- 北海，北極出地六十五度，夏至晷景長六尺七寸八分，晝八十二刻，夜一十八刻。
嶽臺是準確的，衡嶽（北緯二十七度）與和林（北緯四十七度）都低估了兩度，另外三個不清楚具體位置。
實際上從第二條記錄的粗糙程度就可以看出來，衡山在北回歸線以北，夏至日不可能沒有影子，只是沒有量出來，可以想見其他記錄也應該將這段沒有量出來的影子補上去。為了抵消這部分誤差，直接考慮對其作差。假設北回歸線的緯度為$\phi_0 = 23.5^\circ$，而測量點的緯度為$\phi$，因此夏至日陽光與垂直方向的夾角為$\phi-\phi_0$，設影長爲$l$。將和林的緯度記作$\phi_1$，影長爲$l_1$；衡嶽的緯度記作$\phi_2$，影長爲$l_2$。那麼顯然有：
$$
\frac{l - l_2}{\tan(\phi-\phi_0) - \tan(\phi_2-\phi_0)} = \frac{l_1 - l_2}{\tan(\phi_1-\phi_0) - \tan(\phi_2-\phi_0)}
$$
解出$\phi$
$$
\phi = \text{atan}\left[\frac{l - l_2}{l_1 - l_2}[\tan(\phi_1-\phi_0) - \tan(\phi_2-\phi_0)]+\tan(\phi_2-\phi_0)\right] + \phi_0
$$
這樣算出其他幾個地點的緯度：
| 地點 | 緯度 |
|---|---|
| 北海 | 63.6 |
| 鐵勒 | 56.0 |
| 嶽臺 | 36.6 |
| 南海 | 19.3 |
已知的嶽臺緯度為三十四點五度，相當於平移了兩度，這是不可兼得的事情。或者以嶽臺為基準，設嶽臺的緯度為$\phi_3$，影長爲$l_3$：
$$
\frac{l}{\tan(\phi-\phi_0)} = \frac{l_3}{\tan(\phi_3-\phi_0)}
$$
得到：
$$
\phi = \text{atan}\left[\frac{l}{l_3}\tan(\phi_3-\phi_0)\right] + \phi_0
$$
同樣可以得到其他幾組結果：
| 地點 | 緯度 |
|---|---|
| 北海 | 65.2 |
| 鐵勒 | 56.8 |
| 和林 | 46.6 |
| 衡嶽 | 23.5 |
| 南海 | 14.8 |
哪一種更可信呢，不好說。單從結果來看和林還算接近，衡嶽卻錯得離譜；而南海，在北緯十八度以南，根本沒有陸地。
晝夜時長
看最後一組數據，晝夜時長。
實際上古人將一天分為一百刻，知道白晝時長即可知道黑夜，反之亦然。假設白天為$n$刻，則夜晚為$100 - n$刻。可以想像一個平面從同一個頂點去截圓錐，夜弧的圓心角為$2\alpha$，則：
$$
\alpha = \text{acos}\left[\tan\phi\tan\phi_0\right]
$$
而圓心角也可以與晝夜時長對應起來：
$$
\frac{\pi - \alpha}{\alpha} = \frac{n}{100 - n}
$$
這樣解出緯度：
$$
\phi = \text{atan}\left[\frac{\cos\pi(1-n/100)}{\tan\phi_0}\right]
$$
注意「大都，北極出地四十度太強，夏至晷景長一丈二尺三寸六分，晝六十二刻，夜三十八刻」。因其規格與六者不同，在影長計算時沒有考慮。現在算出包括元大都在內的結果：
| 地點 | 緯度 |
|---|---|
| 北海 | 62.8 |
| 鐵勒 | 53.5 |
| 和林 | 44.4 |
| 大都 | 40.3 |
| 嶽臺 | 35.4 |
| 衡嶽 | 23.3 |
| 南海 | 16.1 |
可以對比已知的和林（北緯四十七度），大都（北緯四十度），嶽臺（北緯三十四點五度）以及衡嶽（北緯二十七度）。然而，低緯度的觀測數據是不可靠的，緯度與白晝刻漏數之間的關係如下圖所示
一個簡單的例子，南海「晝五十四刻」，如果換成五十三，那麼計算出的緯度是十二點二；如果換成五十五，則計算出的緯度為十九點八。再比如，衡嶽「晝五十六刻」，若取五十七，則緯度為二十六點六。由於刻漏的值只能取整數，由圖可知，計算結果在低緯度時對誤差敏感。
實際上，人也很難精確地區分白晝與夜晚。反過來說，在高緯度地區的觀測基本是可靠的，原因也是類似的，即上述曲線呈飽和狀態，對觀測誤差不敏感。
結論
綜上，可以得出以下結論：
對北海的觀測手段最可靠的，為晝夜時長的記錄。其次是固定兩點的日晷影長記錄，以其在南海的數值與經驗一致。最不可靠的是對北極星仰角的測量，只能定性的得出高估的判斷，而不能推測具體數值。
我比較傾向認為北海大約在北緯六十二度的某個地方。
後記
如果你奇怪我為什麼要做這個事情，顯然我真實動機並不是對北海任何博物意義上的興趣。
起因是我看到這張圖
這就是公然撒謊，而且是很不高明的那一種。原因很簡單，北極圈內有極晝現象，那麼夏至日夜晚的長度便是零。哪怕我沒有具體計算，我也能斷定該地離北極圈還很遙遠。實際上無論哪一種計算結果，都不曾證明蒙古人靠近過北極圈，更不要說北極圈到北冰洋，還有很長的距離。
我知道東北航道的歷史，也知道那是一段血淚而艱難的旅程，以及多少探險隊曾經葬身於此。我還知道歐洲人花了多長時間才發現到北極的洋流，意識到冰層下面是海，而非陸地。但我非常確定郭沫若、譚其驤這些人根本不知道這些，他們像是宮廷的閹人一樣窺伺上意，觀察政治風向；如果輪到他們表演，他們就輕佻地標上去，甚至不需要任何理由。如果他們還在意過所謂的「學者」身分而向國際交代，也可以編一個理由，所謂「日不落之山」便是類似的腳本。
我對此毫不意外，在我看來蒙古人的操守，都好過後來流氓知識分子，所謂「元政以寬」，也是這個道理。反過來在列寧黨那裡，一切都是為政治服務的。我曾經看到一個共產黨鬥爭的失敗者，憤怒地抱怨共產黨如何隨意地竄改歷史，不禁失笑。尊重歷史，這難道不是資產階級行為嗎；文藝歷史要為政權服務，這難道不是黨的政策嗎；至於偽造材料這種事情，你自己有少幹嗎，我不曉得你在抱怨什麼。恐怕只有資產階級那裡，才會為了科學而科學、為了學術而學術。貧下中農學者在學術上毫無創見，只能做一些收集材料的低級事情，然而就這種操守都令人懷疑，如果他們還能稱之為學者的話。
現在這些人又在以類似的方式論證南海的主權，這也反映了「文明古國」的尷尬：留下的可靠記錄少之又少，以外部分只能依靠想像去填補。實際上能模糊定位的，只有蒙古人留下的這一處記錄，其他都是語焉不詳、不知所云的空泛描述。但正如我前面所說，與北海不同，南海的定位是很成問題的。但這些都是次要的，重要的是當局是否有融入國際體系並尊重海洋法的意願，至於要找什麼樣的理由，都不過是枝節的事情。