引言
非常湊巧，約莫就是昨天的事。我的supervisor問我，是否存在一個constraint，使得grid cell排列成hexagon的結果？
我思考了一下，問他是否需要一個變分的結果，他說可能是的。
然而我並非生物背景，在到這邊來之前我都不知道grid cell是什麼。我後來在一些講座中知道了這種細胞。它類似尺子，用以測量空間中移動的距離，而空間中的定位則依賴place cell，這兩種細胞功能是相輔相成的。grid cell的發現是得過諾貝爾奬的，約莫就是十幾年前的事情。我第一次看到這種六角形排列的細胞也十分驚奇，它是我想起了lattice（晶格），也是這樣週期性排列的。我想任何物理背景的人對此都是非常熟悉的，當然這種事情別人也都做過了。
這也是我對其沒有太多興趣的原因，但supervisor提到constraint的時候，他說這種事情別人倒沒有做過。我在路上思考了一會，後來告訴他，六角結果或許來自密堆，可能沒有他預想的那些對稱性的限制要求。
這個故事是這樣的，你將一把小球灑在平面上，盡可能減小它們之間的空隙，使得它們緊緻地排列在一個面上，你就會得到一個類似蜂巢的結構。我想它的機制或許也是類似的：細胞有一定的大小，而且它們之間也存在一定的距離。
然而我並不知道怎麼證明。
證明
我最開始的想法是：一、證明週期性排列使得元胞大小要小於無序排列。二、證明六角排列是這些週期性排列中最小的。然而這並不對。
還有一個想法是我定義一個分子間作用勢能，把所有相互作用加起來，算變分的極值。分子間作用勢能，譬如Lennard-Jones potential，一方面拒絕分子相互重疊，而另一方面則在長距離表現為吸引，使得它們聚攏在一起。不難發現最緊緻的排列，正好對應總能量的最小值。
系統能量
我用$U$表示總能量，用$(x_i,y_i)$表示第$C_i$個細胞的位置，原點的徑矢可以表示為$\vec r_{oi} = \vec{OC}$。如果用$V(r)$表示分子間相互作用勢能，則總能量可以寫為
$$
U = \sum_{i < j} V(r_{ij})
$$
對$x_i$取變分
$$
\delta U = \sum_{j}\left[\frac{\partial V(r_{ij})}{\partial r_{ij}}\frac{\partial r_{ij}}{\partial x_i}\delta x_i\right] = 0
$$
考慮其中
$$
\frac{\partial r_{ij}}{\partial x_i} = -\frac{x_j - x_i}{r_{ij}}
$$
對$y$分量也有類似的結果，寫成矢量的形式
$$
-\sum_{j}\frac{\partial V(r_{ij})}{\partial r_{ij}}\frac{\vec r_{ij}}{r_{ij}} = \vec 0
$$
而左邊正是該點所受到的合力，注意受力只與相對位置有關，矢量相加為零，這意味著存在旋轉對稱性（可以想像車輪的輻條）。此外我沒有明確是哪一個點，至少在除邊界以外的點結果是普適的，故存在平移不變性。
晶體結構
一旦確定了這兩個條件，問題就簡單了。所謂旋轉對稱性指的是轉過一定的角度後能與自身重合。原則上任何角度都是可以的，但由於平移不變形的要求，就沒幾個角度是可以的。
試想在點陣上任意選定一原點$O$，相鄰的一點不妨記作$A$，而它相對原點對稱的一點不妨記作$A’$。顯然在複平面上表示更為方便，將$\vec{OA}$記作$ae^{i\alpha}$，$\alpha$是角度，$a$是基矢的長度，任何與之平行的直線上任意兩點的距離都必然是$a$的整數倍，這是晶體週期性結構的性質。類似地，$\vec{OA’}$可以寫成$-ae^{i\alpha}$。
現在將$\vec{OA}$轉過$\phi$角度，如果晶體滿足旋轉不變性的話，轉過的$A$必然落在另一個點陣的點$B$上，同理將將$\vec{OA’}$轉過$-\phi$角度落在另一個點陣的點$B’$上，計算一下$B’B$
$$
ae^{i(\alpha+\phi)} + ae^{i(\alpha-\phi)} = 2a\cos\phi e^{i\alpha}
$$
結果自然是平行的，但$2a\cos\phi$必須為$a$的整數倍，不難發現符合這個條件的角度並不多，只有360度、180度、120度、90度以及60度。
如果還要考慮單一圖形鋪滿整個空間的話，譬如正$n$邊形，假設$k$個內角將填滿整個空間
$$
k(\pi-\frac{2\pi}{n}) = 2\pi
$$
也就要求
$$
\frac{2}{k} + \frac{2}{n} = 1
$$
由於$n \geq 3$，符合這個條件的只有正三、四和六邊形。但正三角形需要翻轉，如果只考慮平移的話，實際上只有正四變形和正六邊形滿足條件。
最低能量
顯然正六邊形可以使系統總能量最低，也就是變分的極值。
算一下平均能量就可以了。如果忽略掉距離在$2a$及以上的能量貢獻（$a$是正多邊形的邊長，也是相鄰點的最小距離），那麼正六邊形結構中任一點與其相鄰六個點的距離都相等，平均能量就是分子間作用勢能的最小值（假設$a$即為分子大小）。正四邊形四個相鄰的點跟正六邊形一樣，但它在四個拐角上有距離為$\sqrt{2}a$的四個點，它們的能量顯然要高於分子間作用勢能的最小值，這樣平均下來只有正六邊形的總能量最低。
後記
其實用分子間作用勢能去類比是有道理的，因為細胞生長存在接觸抑制；若不存在一個吸引機制的話，它們自然會散開，這自然也是不對的。
頗為高興的是我的物理直覺是不錯的，哪怕沒有具體計算，也能猜出最後的結果。這也就證明了只要大小相似且相互吸引的物體，只要不是融合在一起，最後都會排列出類似蜂巢一樣的六角結構。