引言
本篇是關於de Laval nozzle的推導。
方程
絕熱理想氣體中的聲速
考慮振動一維傳播，根據牛頓定律，質點的加速度來自兩側的壓強差
$$
S\cdot (p_x - p_{x+dx}) = \ddot x dm
$$
考慮$dm = \rho S\cdot dx$，上式可以整理為
$$
\rho\frac{dv}{dt} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0
$$
傳統的聲波還依賴另外兩個方程：物態方程和連續性方程，在此基礎上還要做一些近似才能得到波動方程。但這裡不用把方程寫出來，考慮振動產生的疏密相間的波在介質中穩恆流動，那麼$\rho v$應該與位置無關，將其對時間求偏導
$$
\rho\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial \rho}{\partial x} = 0
$$
兩個式子比較一下，考慮壓強是密度的函數，同時把速度$v$換成介質的波速$a$，則
$$
\frac{dp}{d\rho} = a^2
$$
對絕熱氣體而言，物態方程滿足
$$
pV^\gamma = const
$$
$\gamma$是絕熱指數。考慮質量一定時，上式變為
$$
\frac{p}{\rho^\gamma} = const
$$
取對數後再取微分
$$
\frac{1}{p}\frac{dp}{d\rho} - \gamma\frac{1}{\rho} = 0
$$
這樣得到聲速
$$
a^2 = \gamma\frac{p}{\rho} = \gamma\frac{nRT/V}{nM/V} = \gamma\frac{RT}{M}
$$
噴管
考慮噴管中質量守恆
$$
\rho vA = const
$$
能量守恆
$$
C_pT + \frac{1}{2}nMv^2 = const
$$
考慮上面提到的絕熱關係
$$
\frac{p}{\rho^\gamma} = const
$$
以及
$$
p^{1-\gamma}T^\gamma = const
$$
加上已經得到的聲速
$$
a^2 = \gamma\frac{RT}{M}
$$
以及定壓熱容
$$
C_p = \frac{\gamma}{\gamma-1}nRT
$$
整理得到
$$
(1-\frac{v^2}{a^2})\frac{dv}{v} = -\frac{dA}{A}
$$
討論這個結果：
- 當氣流以亞聲速運動時，如果想讓流速增大，則應該減小截面積。
- 當氣流以超聲速運動時，如果想讓流速增大，則應該增加截面積。
這就是de Laval nozzle的原理。
後記
我是看到火箭的噴管想到這個問題，增加排氣的速度可以顯著提高推力。
補充
方程組嚴格書寫應該是這樣子
$$
\begin{align}
\frac{\partial\rho}{\partial t} =& 0\\
\frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\partial(\rho v)}{\partial x} =& 0\\
\rho\frac{dv}{dt} + \frac{\partial p}{\partial x} =& 0
\end{align}
$$
由$\frac{p}{\rho^\gamma} = const$可知，壓強也不顯含時間
$$
\frac{\partial p}{\partial t} = 0
$$
因此偏微分就變成微分了，可以把對$x$的偏微分全部換成微分，則
$$
\frac{dp}{d\rho} = \frac{-dx\cdot\rho\frac{dv}{dt}}{d\rho} = \frac{-dv\cdot\rho\frac{dx}{dt}}{d(\rho v) - \rho dv} = \frac{-dv\cdot\rho v}{-\rho dv} = v^2
$$
用到的是穩恆條件。