引言
本篇是對此前折射一文內容的補充。
檢驗
關於前文結論光在大氣中的軌跡是拋物線，可以簡單檢驗：以$dy$作為厚度對空氣分層，若考慮上下兩側的折射率分別為$n_2$和$n_1$，根據折射定律有
$$
n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2
$$
其中$\theta$為折射角。為簡單起見，考慮以$y$為變量的拋物線形式，那麼$\tan \theta$即為斜率。注意到
$$
\frac{\sin \theta_2}{\sin \theta_1} = \frac{n_1}{n_2} = \frac{n_1}{n_1 + kdy} \approx 1 - kdy
$$
這裡考慮近似$n_1 \approx 1$。計算斜率
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\sin \theta_2}{\cos \theta_2} =& \frac{(1 - kdy)\sin \theta_1}{\sqrt{1 - (1 - kdy)^2\sin^2 \theta_1}} \\
=& \left( \sqrt{\frac{1}{(1 - kdy)^2\sin^2 \theta_1} - 1} \right)^{-1} \\
\approx& \left( \sqrt{\frac{1}{\sin^2 \theta_1} - 1 + \frac{2kdy}{\sin^2 \theta_1}} \right)^{-1} \\
\approx& \frac{\sin \theta_1}{\cos \theta_1} - \frac{1}{2}\frac{\sin^3 \theta_1}{\cos^3 \theta_1} \cdot \frac{2kdy}{\sin^2 \theta_1}
\end{aligned}
\end{equation}
$$
考慮近似$\sin \theta_1 \approx 1$（光線軌跡接近水平），得到
$$
x’(y + dy) \approx x’(y) - k[x’(y)]^3dy
$$
即
$$
x’’ + k(x’)^3 = 0
$$
注意到$k$很小且為負，這個方程解
$$
k^2\left[ x(y) - c_2 \right]^2 = c_1 + 2ky
$$
即為寬扁向下的拋物線。若不考慮光線軌跡接近水平的近似，則方程
$$
x’’ + k(x’)^3 + kx’= 0
$$
是有精確解的，但無必要，畢竟物理本身就是在做近似。
補充
現在考慮一般情況，即折射率依舊隨高度均勻變化，但梯度$k$可以很大，以至於接近垂直的光線也可以折返回地面。這種情況需要把一般性的方程寫出來
$$
x’’ + \tilde k(x’)^3 + \tilde kx’= 0
$$
其中$\tilde k = k / n_0$，$n_0$表示初始折射率。令$u(y) = x’(y)$，得到
$$
u’ + \tilde k u + \tilde k u^3 = 0
$$
整理並分離，待定系數
$$
-\tilde k , dy = \frac{du}{u (1 + u^2)} = \left( \frac{A}{u} + \frac{B u + C}{1 + u^2} \right) \cdot du
$$
解出$A = 1$，$C = 0$以及$B = -1$。兩邊積分得到
$$
-\tilde k y + C_1 = \ln \left( \frac{|u|}{\sqrt{1 + u^2}} \right)
$$
整理得到
$$
|u| = C e^{-\tilde k y} \sqrt{1 + u^2}
$$
其中$C = \exp(C_1) > 0$，平方以消除絕對值符號，整理得到
$$
\frac{dx}{dy} = \pm \sqrt{\frac{A e^{-2\tilde k y}}{1 - A e^{-2\tilde k y}}}
$$
其中$A = C^2 > 0$。令$w = e^{-\tilde k y}$，則$y = -\frac{1}{\tilde k} \ln w$及$dy = -\frac{1}{\tilde k w} , dw$，代入得到
$$
x = \mp \frac{\sqrt{A}}{\tilde k} \int \frac{1}{\sqrt{1 - A w^2}} , dw = \mp \frac{1}{\tilde k} \arcsin(\sqrt{A} e^{-\tilde k y}) + C_2
$$
最後的解為
$$
y(x) = - \frac{n_0}{k} \ln \left[ \sin\right(\pm \frac{kx}{n_0} + C_3\left) \right] + C_4
$$
積分常數由初始條件決定。由於正負兩解之存在相位差，保留一支即可
$$
y(x) = - \frac{n_0}{k} \ln \left[ \cos\right(\frac{kx}{n_0} + \phi \left) \right] + h
$$
這裡適當選取座標位置，若$k$為負，積分常數的意義$\phi$表示相位偏移，$h$為最大高度。考慮$\phi = 0$時在最大值附近展開
$$
y(x) \approx h + \frac{n_0}{k}\left[ \frac{1}{2}\left(\frac{k}{n_0}\right)^2 x^2 + \frac{1}{12}\left(\frac{k}{n_0}\right)^4 x^4 + … \right]
$$
可知在$k$很小時僅保留到一階，或是初始角度較小時，軌跡可以直接當成拋物線處理。
1 | -- Light trajectory |