引言
這裡討論神經數量按照發放率呈現log-normal分佈的一種機制，其倒數Interspike Interval也將服從log-normal分佈。
模型
這裡考慮一種rate model
$$
dr = \alpha rdt + \beta r dW_t
$$
其中係數均為待定參數，$W_t$是布朗運動。儘管這個模型在現實中並不存在，我希望其他rate model在一定程度近似後可以得到這種模型。動機很簡單，即以上模型可以直接給出log-normal分佈。
推導
這裡給出簡單推導過程，令
$$
y = \ln r
$$
根據Ito’s Lemma
$$
dy = \frac{1}{r}dr - \frac{1}{2r^2}(dr)^2
$$
替換掉$dr$得到
$$
dy = \alpha dt + \beta dW_t - \frac{1}{2}\beta^2 dt
$$
整理得到
$$
dy = \left(\alpha - \frac{\beta^2}{2}\right)dt + \beta dW_t
$$
求解
這個隨機微分方程的解是
$$
y(t) = y(0) + \left(\alpha - \frac{\beta^2}{2}\right)t + \beta W_t
$$
因為$W_t \sim \mathcal{N}(0,t)$，因此$y(t) \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$，其中
$$
\mu = y(0) + \left(\alpha - \frac{\beta^2}{2}\right)t,\quad
\sigma^2 = \beta^2 t即
$$
整理出來
$$
p_Y(y) =
\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}
\exp\left(-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
$$
最後一步是替換回$r$，根據
$$
p_R(r) = p_Y(\ln r)\left|\frac{d}{dr}\ln r\right|
$$
得到
$$
p_R(r) =
\frac{1}{r\sqrt{2\pi\sigma^2}}
\exp\left(
-\frac{(\ln r - \mu)^2}{2\sigma^2}
\right)
$$
後記
實驗上觀察到神經數量根據發放率大小呈現log-normal分佈，這裡考慮平均場下所有神經行為相同，即使用同一個隨機微分方程描述動力學行為。上述是我能想到解釋這一現象最簡單的機制，其或暗示噪聲大小隨著神經活動調節。