引言
本文推導城市人口的支出分佈。
推導
本推導將經濟系統抽象為由大量個體（$N \to \infty$）組成的統計系綜，這裡需要考慮三條基本假設（考慮在較短，但達到平衡態的一小段時間窗口內）：
假設一：固定平均支出（貨幣總量一定）
在固定觀測期間內（短時間，譬如單一月份），系統的人均支出為常數：
$$
\langle x \rangle = \int_0^\infty x P(x) dx = \mu
$$
其中 $x > 0$ 為個體支出。
城市能夠消耗的總體資源有限，因此總支出 $\sum_i x_i$ 受到宏觀經濟規模的嚴格約束。根據宏觀經濟學的貨幣數量論（$MV = PQ$），在貨幣流通速度（$V$）穩定的短期觀測窗口內，總支出與貨幣總量（$M$）成正比。因此，系統的人均支出 $\mu$ 必然被宏觀貨幣供給量所錨定，視為常數。
假設二：固定對數支出平均（通脹率一定）
個體支出隨時間（長時間，譬如數年）演化主要遵循乘性過程 $x_{t+1} = g_t x_t$。當系統達到長期穩態後，對數平均值為常數：
$$
\langle \ln x \rangle = \int_0^\infty (\ln x) P(x) dx = C
$$
經濟成長、薪資調整、通膨與投資回報等動力學過程主要以「比例」形式發生。因此，描述該系統真正自然的變數並非 $x$，而是 $\ln x$。當底層的乘性波動環境（如通膨率或資產波動率）保持穩定時，系統在對數尺度上的擴散達到動態平衡，使得 $\langle \ln x \rangle$ 成為一個宏觀常數。
假設三：最大熵原理（自由市場交易）
在僅已知上述兩個宏觀約束，而缺乏其他全局協調機制的自由市場中，系統最可能出現在微觀狀態數 $\Omega$ 最大的宏觀分佈。這等價於機率密度函數 $P(x)$ 必須使 Shannon 熵 $S$ 達到極大值：
$$
S = -\int_0^\infty P(x) \ln P(x) dx
$$
微觀狀態數的直觀釋義（三人六單位資源模型）：
假設有 A、B、C 三人，系統總資源固定為 $E = 6$。考慮兩種宏觀分配狀態：
- 狀態一（高度集中）：分配為 $(6,0,0)$。
可能的微觀排列僅有 $(6,0,0), (0,6,0), (0,0,6)$，共 $\Omega = 3$ 種微觀態。 - 狀態二（較均衡）：分配為 $(3,2,1)$。
可能的微觀排列包含 $(3,2,1), (3,1,2), (2,3,1), (2,1,3), (1,3,2), (1,2,3)$，共 $\Omega = 6$ 種微觀態。
若系統中無任何機制偏好特定的分配方式，隨機遍歷滿足資源約束的配置時，落入第二種狀態的機率顯然更高。這並非因為系統有意識地追求「公平」，而是該狀態對應著更多的微觀實現方式。
當 $N \to \infty$ 時，具有最大 $\Omega$ 的宏觀分佈將以壓倒性機率湧現。引入 Stirling 近似（$\ln N! \approx N \ln N - N$）可得：
$$
\ln \Omega \approx -N \int P(x) \ln P(x) dx + \text{const}
$$
因此，最大化微觀狀態數 $\Omega$ 在數學上嚴格等價於最大化 Shannon 熵。
變分法推導
在歸一化條件 $\int P(x) dx = 1$ 與前述兩大宏觀約束下，求解使熵 $S$ 極大的 $P(x)$。構造 Lagrange 泛函：
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal{L}[P] =& -\int P(x) \ln P(x) dx - \lambda_0 \left( \int P(x) dx - 1 \right) \\
& - \lambda_1 \left( \int x P(x) dx - \mu \right) - \lambda_2 \left( \int (\ln x) P(x) dx - C \right)
\end{aligned}
\end{equation}
$$
對泛函求極值，令其一階變分為零（$\frac{\delta \mathcal{L}}{\delta P(x)} = 0$）：
$$
-\ln P(x) - 1 - \lambda_0 - \lambda_1 x - \lambda_2 \ln x = 0
$$
移項解出 $P(x)$：
$$
P(x) = \exp(-(1 + \lambda_0)) \cdot x^{-\lambda_2} \cdot \exp(-\lambda_1 x)
$$
令配分函數 $Z = \exp(1 + \lambda_0)$，得：
$$
P(x) = \frac{1}{Z} x^{-\lambda_2} e^{-\lambda_1 x}
$$
定義無量綱參數：
- 形狀參數 $\alpha = 1 - \lambda_2$ （由乘性波動約束決定）
- 率參數 $\beta = \lambda_1$ （由總貨幣量/平均支出約束決定）
代回概率函數：
$$
P(x) \propto x^{\alpha - 1} e^{-\beta x}
$$
透過歸一化條件 $\int_0^\infty P(x) dx = 1$，引入 Gamma 函數 $\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty t^{\alpha-1} e^{-t} dt$，可確定歸一化常數 $1/Z = \beta^\alpha / \Gamma(\alpha)$。由此得到最終的解析解：
$$
P(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{-\beta x}
$$
城市支出 Gamma 分佈擬合的物理與經濟詮釋
對城市支出直方圖進行 Gamma 分佈擬合 $P(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{-\beta x}$，提取形狀參數 $\alpha$ 與率參數 $\beta$ 後，可讀出以下宏觀狀態資訊：
系統有效流動性（$\langle x \rangle = \alpha/\beta$）
代表「人均活躍支出水平」，正比於市場有效貨幣流通量（$MV$）。- 幾何特徵：控制分佈的整體尺度與主峰的絕對座標。若已知人口 $N$，可透過 $N(\alpha/\beta)$ 估算總體消費市場規模。
乘性波動方差與不平等度（$\alpha$）
反映歷史乘性雜訊（如通膨波動、薪資調整比例）的累積方差。- 幾何特徵：完全決定分佈的偏度（Skewness）。當 $\alpha \gg 1$ 時，分佈呈現對稱的類高斯鐘型，暗示底層動力學平穩、分配均勻；當 $\alpha \to 1$ 或更低時，主峰被強烈擠壓至左側（低支出區），右側呈現厚重的長尾（高度右偏），暗示系統曾歷經劇烈乘性震盪，資源分配極度不均。
系統溫度與均值回歸牽引力（$\beta$）
類似統計物理中的逆溫度（$1/kT$），控制個體向極高支出狀態游走的阻力。- 幾何特徵：決定右側長尾的指數衰減速率（$e^{-\beta x}$）。$\beta$ 越大，尾部下墜越陡峭，暗示宏觀環境存在強烈的「均值回歸」牽引力（如嚴苛的累進稅率或較低的系統性儲蓄傾向）。
觀測盲區（無法直接讀取的資訊）
- 絕對通膨率均值：$\alpha$ 僅包含波動方差。穩定 $2%$ 與 $5%$ 的通膨若方差相同，擬合出的分佈形狀將完全一致。
- 靜態貨幣供給量（$M$）：直方圖僅反映「有效支出」。因無法剝離貨幣流通速度（$V$），故無法反推央行實際投放的絕對貨幣量。
後記
在固定平均支出 $\langle x\rangle$ 與固定平均對數支出 $\langle\ln x\rangle$ 的約束下，一個充分自由交易的經濟系統演化至最大熵狀態時，其平衡分佈為 Gamma 分佈。
這篇文章的分析對收入分佈也是適用的，因為一個人的支出是另一個人的收入。如果拿掉第一個假設，將呈現Pareto 冪律（Power Law）分佈特徵，這一點適用於極度富有的人群，他們的資產性收入遠遠超過工資性收入。