引言
這裡計算2025年全國居民人均可支配收入分佈，基於城鄉二元混合 Gamma 模型的測算，有關模型推導的細節可以參考上一篇文章。
計算
1. 基礎數據
模型所採用之宏觀數據皆源自國家統計局公佈的2025年全國性調查結果。為了消除家庭結構造成的統計掩蓋，所有計算均基於月均可支配收入（包含所有家庭依附人口）。
- 全國城鎮化率（人口權重）：城鎮 $w_u=0.6789$，鄉村 $w_r=0.3211$
- 城鄉月均可支配收入：城鎮 $\mu_u=4708.5$元，鄉村 $\mu_r=2038.0$元
- 全國月均可支配收入中位數：$m=3019.25$元
2. 理論模型與計算過程
單一 Gamma 分佈在描述具備顯著城鄉二元特徵的經濟體時會產生失真。本文採用城鄉混合 Gamma 分佈模型，其概率密度函數定義為：
$$f_\text{mix}(x)=w_{u}f_{u}(x;\alpha,\theta_{u})+w_{r}f_{r}(x;\alpha,\theta_{r})$$
其中 $f_u$ 與 $f_r$ 分別為城鎮與鄉村的 Gamma 概率密度函數。其基本形式為：
$$f(x)=\frac{x^{\alpha-1}e^{-x/\theta}}{\Gamma(\alpha)\theta^\alpha}$$
為降低自由度，假設城鄉收入分佈具有相同的形狀參數 $\alpha$，而尺度參數 $\theta$ 由各自的平均數決定，即 $\theta_u=\mu_u/\alpha$ 以及 $\theta_r=\mu_r/\alpha$。
系統唯一的未知參數 $\alpha$ 需透過總體中位數約束條件來數值求解。累積概率分佈積分在 $x=m$ 時必須滿足：
$$\int_{0}^{m}f_\text{mix}(x)dx=0.5$$
構建目標優化函數 $\min_{\alpha} (\int_{0}^{m} f_\text{mix}(x) dx - 0.5)^2$。經數值優化迭代，求解出最優形狀參數 $\alpha \approx 2.1025$。隨之可定出尺度參數 $\theta_u \approx 2239.5$ 與 $\theta_r \approx 969.3$。
3. 五等份收入推算與官方數據比對
將求解出的 $f_\text{mix}(x)$ 進行五等份定積分，得出各區間（每組佔比20%）的理論月均期望值。對比國家統計局2025年發佈的五等份調查抽樣結果，數據如下：
| 收入分組 (各佔 20%) | 官方公佈：月均 | 混合模型理論值：月均 | 絕對誤差 | 相對誤差 |
|---|---|---|---|---|
| 低收入組 (後20%) | 846 元 | 853 元 | +7 元 | +0.8% |
| 中間偏下組 (20%-40%) | 1,892 元 | 1,892 元 | 0 元 | 0.0% |
| 中間收入組 (40%-60%) | 2,961 元 | 3,038 元 | +77 元 | +2.6% |
| 中間偏上組 (60%-80%) | 4,632 元 | 4,701 元 | +69 元 | +1.5% |
| 高收入組 (前20%) | 8,648 元 | 8,771 元 | +123 元 | +1.4% |
結論：在僅引入宏觀均值與城鄉權重的約束下，二元混合 Gamma 模型推導出的理論期望與官方微觀抽樣調查數據在低、中、高各階層均達到了高度吻合，中低收入段（20%-40%）誤差甚至收斂至 0。這證實了城鄉二元結構是塑造當前財富分佈拓撲的核心物理邊界。
4. 城鄉中位數推算與官方數據比較
| 區域 | 官方公佈中位數 (月均) | 全局 $\alpha$ 預測中位數 (月均) | 絕對差值 | 誤差幅度 |
|---|---|---|---|---|
| 鄉村 | 1,732 元 | 1,726 元 | -6 元 | -0.3% |
| 城鎮 | 4,285 元 | 3,987 元 | -298 元 | -7.0% |
城鎮存在百分之七的系統偏差，這一點可以被以下微擾理論所解釋。
5. 理論模型的物理極限與系統性偏差解析
基態的城鄉混合 Gamma 模型在給定全局約束下還原了宏觀分佈輪廓，但在微觀區間與聚合特徵上存在四個方向一致的系統性偏差。本節將官方數據視為真實狀態基準（定義偏差量 $\Delta X = X_{\mathrm{official}} - X_{\mathrm{model}}$），從「宏觀統計權重」與「微觀概率相態」兩個維度進行物理剝離與自洽解釋。
5.1 觀測到的系統性偏差
- 總體均值高估 ($\Delta \mu < 0$)：模型按常住人口加權的均值約 $3851.0$ 元，官方均值為 $3614.8$ 元，存在 $\Delta \mu \approx -236.2$ 元的負向偏差。
- 城鎮中位數低估 ($\Delta m > 0$)：模型預測值 $3987$ 元與官方公佈值 $4285$ 元存在 $\Delta m \approx +298$ 元的正向偏差。
- 中高收入區間均值低估 ($\Delta E_i > 0$)：模型對前兩個五等分均值的預測與真實值相近，但後三個五等分（中高收入區間）的預測均值系統性低於真實數據。
- 基尼係數低估 ($\Delta G > 0$)：理論基尼係數 $G_0 \approx 0.412$ 低於官方公佈的 $0.465$，存在 $\Delta G \approx +0.053$ 的正向偏差。
5.2 宏觀邊界失效與「權重悖論」
總體均值下偏 ($\Delta \mu < 0$) 的物理本質，是宏觀統計中「概率質量」與「聚合權重」的斷裂。
若根據官方公佈的三項均值（總體 3614.8 元，城鎮 4708.5 元，鄉村 2038.0 元）反向求解系統平衡方程，隱含的城鎮人口權重為：
$$w_u = \frac{\mu_{\mathrm{national}} - \mu_r}{\mu_u - \mu_r} \approx 59.04%$$
此數值與官方常住人口城鎮化率 ($67.89%$) 存在顯著撕裂。
在模型演化中，若強制採用 $59.04%$，雖能對齊一階矩（均值），但會導致累積概率分佈（CDF）的拓撲結構崩塌，五等分預測全面失效。採用 $67.89%$ 能嚴格還原五等分概率邊界，代價是總體均值的不守恆。
該悖論源於統計口徑的非對稱性：五等分觀測本質上是測量個體概率質量的空間分佈，必須遵循 $67.89%$ 的常住人口物理邊界；而官方總體均值以「家庭戶」為底層抽樣矩陣，鄉村家庭規模顯著大於城鎮，農村人口基數在人均匯總時產生了不成比例的分母稀釋效應，在數學上等效於將城鎮隱含權重壓縮至 $59.04%$。
5.3 微觀相態轉變：Gamma-Pareto 一階微擾響應
在剝離宏觀權重誤差後，分佈特徵偏差（中位數右移、中高收入均值偏高、Gini 係數攀升）在方向上具備物理同源性。
正如筆者在另文所推導，真實經濟體的極高收入端會發生從 Boltzmann-Gibbs 統計向無標度網絡的相態轉變。設真實分佈為基態與 Pareto 尾部微擾的疊加：
$$f(x) = f_0(x) + \epsilon \delta f(x)$$
其中 $\int_0^\infty \delta f(x)dx = 0$。微擾算符存在單一相變點 $x_c$：
- 質量抽離區 ($x < x_c$)：$\delta f(x) \le 0$，概率質量從中低收入區間被抽離。
- 質量注入區 ($x > x_c$)：$\delta f(x) > 0$，概率質量被注入極高收入的冪律尾部。
該算符透過一階線性響應，自洽地導出了三大偏差的符號：
- 城鎮中位數響應：在 $m_0$ 處展開，$\Delta m = -\frac{\epsilon}{f_0(m_0)} \int_0^{m_0} \delta f(x) dx$。因中位數位於抽離區，積分項為負，導出 $\Delta m > 0$。
- 五等分均值響應：$\Delta E_i = \frac{\epsilon}{0.2} \int_{b_{i-1}}^{b_i} x \cdot \delta f(x) dx$。對於後三個等分，積分域跨入質量注入區，大數值 $x$ 與正向 $\delta f$ 主導積分，導致 $\Delta E_{3,4,5} > 0$。
- 基尼係數響應：$\Delta G \approx \frac{\epsilon}{\mu_0} \iint |x-y|f_0(x)\delta f(y) dx dy$。概率質量向 Pareto 尾部的單向遷移拉大了全局絕對差分，使得差分積分 $\iint |x-y|f_0 \delta f \gg 0$，確保了 $\Delta G > 0$。
後記
總體均值的下偏源於宏觀人口權重與家庭統計口徑的錯位；而中位數、五等分中高區間與 Gini 係數的系統性偏差，則在微觀上共同證實了極高收入階層 Pareto 冪律尾部的存在。兩套機制的解耦，構築了該物理模型的理論自洽性。
以下代碼採用無第三方科學庫依賴的數值積分方法（純 Numpy），利用前述推導參數繪製全國城鄉收入分佈圖譜。
1 | import numpy as np |